Kommentaarid

Ruutkeskmise vastastikkuse seadus ja Gaussi täisarvud


1825. aastal avaldas saksa matemaatik Carl F. Gauss paberi, milles tutvustati vormi keerulisi numbreid m + eiikus m ja ei on täisarvud ja i = (-1)1/2, kui uuritakse nelinurgas vastastikkusega seotud küsimusi. Vastastikkuse seadused on numbriteooria üks huvitavamaid tulemusi. Need seadused on sündinud kvadraatliku vastastikkuse teoreemist, mida demonstreeris Gauss ja mille on varem aimanud Pierre de Fermat, Leonard Euler ja Joseph Legendre. David Hilbert ja hiljem André Weil on need seadused üldistanud ja üldisemates olukordades pole neid veel täielikult mõistetud.

Tõenäoliselt oli kvadratiivse vastastikkuse seadus (LRQ) üks moodsa numbriteooria esimesi põhjalikke tulemusi. Algselt aimdasid seda iseseisvalt Euler ja Legendre 18. sajandi esimesel poolel. Kuid nad said meeleavalduse ainult konkreetsete juhtumite jaoks. Aastal 1795 avastas Gauss selle enda jaoks, kuid ei tundnud, et suudaks seda demonstreerida, ja teatas oma kirjas, et meeleavaldus piinas teda terve aasta ja kulutas kõik endast oleneva. Üheksateistkümne aasta vanusena, 8. aprillil 1796, tutvustas Gauss esimest korda kvadratiivse vastastikkuse seadust ja leidis oma elu jooksul muid selle tulemuse demonstratsioone.

Enne selle tulemuse avaldamist tuletagem meelde kongruentsuse kontseptsiooni, mida nähti “Riemann Zeta funktsioon ja Internet” viimastes veergudes. Gauss tutvustas kongruentsuse mõistet oma 1801. aastal ilmunud töö “Disquisitiones Arithmeticae” esimeses peatükis. Sel ajal tutvustas ta ka märget “≡”, mis muutis selle mõiste võimsaks tehnikaks Algebras ja numbriteoorias. Läheme määratluste juurde.

Me arvestame kahte täisarvu , b ja ei positiivne täisarv. Kui ei jagama - b me ütleme seda

é ühilduv b moodul ei, ja me kirjutasime b (mod ei).

Näiteks: 27 ≡ 2 (mod 5), kuna 5 jagab 27 - 2 = 25, 7 ≡ 7 (mod 4), kuna 4 jagab 7 - 7 = 0.

Seetõttu b (mod ei) tähendab seda ei jagama - b; varsti on täisarv k selline, et - b = kn jagatavuse määratluse järgi. Näiteks 37 ≡ 2 (mod 5), kuna 37 - 2 = 35 = 7 • 5. Arvestades täisarvu ja ei me teame jaotuse algoritmist, et on olemas täisarvud mis ja r mida nimetatakse vastavalt jagajaks ja ülejäänud osa selliseks, et: = millal + rkus 0 ≤ r < ei; varsti - r = millal, st ei jagama - r. Seetõttu kongruentsuse määratluse järgi r (mod ei). Ülejäänud r võib eeldada mis tahes väärtust vahemikus 0 kuni ei - 1, seega järeldame, et iga täisarv on ühilduv moodul ei täpselt ühele väärtusest vahemikus 0, 1, 2,…, ei - 1. Komplekt {0, 1, 2,…, ei -1} kohta ei täisarvud, mis on moodulijaotuse jäänused ei, nimetatakse mooduli jäätmeklassiks ei. Kui me parandame ei = 7, siis mooduliklassis 7 on täpselt 7 elementi, nimelt: 0, 1, 2,…, 6. Seega, olenemata täisarvust, on see ühilduv mooduli 7 klassi ühe elemendiga. Näiteks 20 on jäätmeklassis tähistatud 6-ga, kui 20 = 6 (mod 7).

Paljude sarnaste omaduste tõttu, mis ühtlust ja võrdsust rahuldavad, valis Gauss ühilduvusmärgi jaoks sümboli „≡“. Pange tähele (mod ei) ja kui b (mod ei) siis b(mod ei). Liitmise, korrutamise ja potentseerimise toimingud toimivad järgmiselt: kui b (mod ei) ja cd (mod ei), siis: a + c b + d (mod ei), c b d (mod ei), rbr (mod ei).

Euler mõtles, millistel tingimustel on see kokkusobivus x2mis (mod lk) tunnistas nõbudele lahenduse lk ja mis andmed. Kui sellel sarnasusel on lahendus, ütleme seda mis see on a ruutjääk moodul lk. Muidu ütleme nii mis see on a mitte kvadraatne jääk moodul lk. Seetõttu ruutraiskamine moodul lk on need mooduli jääkide klassi komplekti elemendid lk mis on ruudukujulised. Kui me parandame ei = 7, siis moodulimooduli 7 klassis on täpselt 7 elementi, nimelt: 0, 1, 2,…, 6 ja täpselt 3 elementi, mis on ruudukujulised, nimelt: 1 = 12, 4 = 22, 2 = 32, see tähendab 32 = 9 = 2 (mod 7). Seetõttu on täisarv 2 jääkide ruutmoodul 7. Kuid 5 on jääkide mittekvadraadiline moodul 7, kuna ükski komplekti elementidest {1, 2, 3, 4, 5, 6} ei vasta võrrandile. x2 ≡ 5 (mod 7).

Kvarateraadijääkide teooria huvi seisneb järgmises küsimuses: iga paaritu algarvu korral lk ja mis, on omandiõiguse vahel seos lk olema mooduli ruutjääk mis kinnisvaraga mis olema mooduli ruutjääk lk? Seetõttu arutame kvadraadijääkide vastastikkuse olemust.

Aastal 1640 kuulutas Fermat välja järgmise teoreemi, mida nüüd tuntakse Fermati väikese teoreemina:

“Kui lk on veider nõbu, mis ei jaga täisarvu siis lk - 1 ≡ 1 (mod lk).”

Kuidas lk on veider, sellest järeldub, et (lk - 1) / 2 on täisarv, seega peame tegema järgmist: (lk - 1)/2 ≡ 1 (mod lk).

Nüüd tuntud kui Euleri kriteerium, oli see Euleri jaoks lähtepunkt LRQ meeleavalduse uurimiseks. Täpsustagem Euleri kriteerium:

Olgu p paaritu algarv ja täisarv, nii et p ei jaga.

Arv a on ruutkeskmine moodul p alles ja ainult siis, (lk - 1)/2 ≡ 1 (mod lk).”

Näiteks = 3 on mitte ruutmeetriline moodulijääk lk = 7, sest 33 = 27 ≡ -1 (mod 7).

Teisest küljest = 3 on ruutmooduli jääk mooduliga lk = 11, sest 35 = 243,1 (mod 11).

See kriteerium ei ole siiski praktiline. Näiteks kui tahame otsustada, kas täisarv 17 on ruutkeskmise jäägi moodul 1987, peame otsustama, kas 17993 on ühilduv ühe mooduliga 1987 (pange tähele, et (1987-1) / 2 = 993). Seetõttu on vaja uurida, kas on olemas mugavam meetod.

Euler keskendus olukorrale, kus mõlemad täisarvud lk ja mis need on positiivsed, paaritud ja selged algarvud. Legendre üritas seda fakti 1785. aastal demonstreerida, kuid ta eeldas tulemust, mille demonstratsioon on palju sügavam kui LRQ demonstratsioon, nimelt et teatud aritmeetilised progressioonid sisaldasid nende elementide vahel lõpmatuid algarvu.

Legendre tutvustas aga järgmist sümbolit (/lk): (/lk) = 1, kui mis on ruutkeskmine jääk lkja (/lk) = -1, vastasel juhul. See sümbol (/lk) vastab paljudele huvitavatele omadustele. Näiteks kui lk on veider nõbu ja , b on täisarvud, mida nõbu ei jaga lksiis: sümbol on korrutatav, st ((ab)/lk) = (/lk) (b/lk); kui b (mod lk), siis (/lk) = (b/lk).

Selle sümboliga (/lk), mida tuntakse kui Legendre sümbolit, väljendatakse LRQ mugavalt järgmiselt:

(mis/lk) (lk/mis) = (-1)(lk - 1) / 2. (mis - 1) / 2.

LRQ-d saab sõnastada muul viisil. Ülaltoodud võrdsuse korrutamine (lk/mis) saame võrdsuse

(mis/lk) = (-1)(lk - 1) / 2.(mis - 1) / 2(lk/mis),

sest (lk/mis) = ± 1. Otsustame, kas täisarv 30 on ruutkeskmise jäägi moodul 53, kasutades LRQ. Esiteks märgime, et:

(15/53) = (3/53)(5/53).

(3/53) = (-1) (3 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/3) = (53/3) = (2/3),

ülejäänud jaotuse 53 korral 3-ga on 2, see on 53 ≡ 2 (mod 3). Kuna 2 on mitte kvadraatne moodul 3, järeldub, et (2/3) = -1. LRQ järgi (5/53) = (-1) (5 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/5) = (53/5) = (3/5), kuna ülejäänud jaotus 53 5-ga on 3, see tähendab 53 53 3 (mod 5). Kuna 3 on jääkide mittekvadraadne moodul 5, järeldub, et (3/5) = -1. Seetõttu tähendab (15/53) = (3/53) (5/53) = (-1). (-1) = 1 tähendab, et 15 on jääkide ruutmoodul 53.

Gaussi peetakse paljude seas Archimedese ja Newtoni kõrval kolmest ajaloo suurimast matemaatikust. Seitsmeteistkümne ajal otsustas ta korrigeerida ja lõpule viia oma eelkäijate aritmeetikas välja töötatud uurimistöö. Gauss tundis suurt huvi aritmeetiliste küsimuste vastu ja tema fraas on teada:

„Matemaatika on teaduse kuninganna ja aritmeetika on matemaatika kuninganna.

Gaussi looming on inspiratsiooni allikaks tema loovusele ning matemaatiliste küsimuste sügavale ja kaasaegsele vaatamisele. Oma raamatus “Disquisitiones Arithmeticae” uurib ta seda tüüpi võrrandeid xei º (mod lk). See on keeruline probleem, mis vajab veel uurimist. Kuid uurides olukorda, milles ei = 2, avastas ja demonstreeris LRQ-d.

Ajavahemikul 1808–1832 jätkas Gauss ruutidest kõrgemate võimude sarnaste seaduste uurimist, see tähendab suhete vahel lk ja mis selline, et mis olid kuupmeetrised ülejäänud lk, (x3 º mis (mod lk)) või bikadraatne jääk (x4 º mis(mod lk)) jne. Selle uurimise käigus tegi Gauss mõned avastused ja mõistis, et keerukate numbrite kallal uurimine muutus lihtsamaks. m + eima kus m ja ei on täisarvud ja i = (-1)1/2.

Gauss töötas nende keeruliste arvude Z jaoks välja peamise faktorisatsiooniteooriai praegu tuntud kui Gaussi täisarvud või Gaussi täisarvud tema auks.

Gauss näitas, et Gaussi täisarvude komplekt koos liitmis- ja korrutamisoperatsioonidega loob struktuuri, mida nimetatakse terviklikkuse domeeniks. Lisaks sellele tunnistavad Gaussi täisarvud peamist lagunemist, see lagunemine on ainulaadne, välja arvatud juhul, kui tegurite järjekord on täpselt nii nagu terve arvu korral.

Gauss üldistas täisarvu ideed komplekti Z määratlemiseli. Ta leidis, et suure osa Euclidi vanast täisarvu faktoriseerimise teooriast saab viia Z-domeeni.i millel on olulised tagajärjed numbriteooriale. Jagamisprobleemid muutuvad selles valdkonnas siiski keerukaks. Pange tähele, et 5 on algarv Z-s, kuid mitte enam Z-gai. Tegelikult

(1 + 2i).(1 - 2i) = 1 - 2i + 2i - 4i2 = 1 - 4.(-1) = 5.

Tekib loomulik küsimus: millised on Z tervise valdkonna algarvudi?

Seda ja muid Gaussi täisarvu aritmeetikat puudutavaid küsimusi kommenteeritakse järgmises veerus.

Tagasi veergude juurde

<